Ableitungen - Übersicht

Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Funktion an. Anschaulicher gesagt: Die Ableitung beschreibt die Änderung der Funktion. Deshalb ist die Ableitung einer Konstanten auch 0, weil sich nichts ändert.

Das Ableiten von Funktionen mag einem zu Anfang vielleicht recht schwer erscheinen, aber wenn man einmal verstanden hat, wie es richtig, ist es kein Problem mehr. Aber ohne Lernen geht es nun mal nicht. Spezielle Funktionen haben auch spezielle Ableitungen, die man sich einfach merken muss. Aber mit der Zeit merkt man sich auch diese Fälle.

FunktionAbleitung
\(c\) (Konstante)$$0$$
$$x$$$$1$$
$$c*x$$$$c$$
$$x ^ n$$$$n * x ^{(n-1)}$$
$$e ^ x$$$$e ^ x$$
$$ln (x), x > 0$$$$1 \over x$$
$$sin (x)$$$$cos (x)$$
$$cos (x)$$$$-sin (x)$$
$$tan (x)$$$$1 + tan ^ 2 (x)$$

Um noch kompliziertere Funktionen, wie zum Beispiel \(f(x) = sin(x) + cos(x)\) ableiten zu können, braucht man noch weitere Regeln.

Summenregel

Die Summenregel erlaubt das Ableiten einer Funktion, die eine Summe enthält. Die Regel besagt, dass \(f'(u + v) = u' + v'\). Hierbei sind \(u\) und \(v\) Funktionen.
Ein Beispiel:
$$f(x) = sin(x) + cos(x)$$
Nach der Summenregel können wir schreiben:
$$\begin{aligned} f'(x) &= (sin(x))' + (cos(x))' \\ \Rightarrow f'(x) &= cos(x) - sin(x)\end{aligned}$$

Produktregel

Die Produktregel erlaubt das Ableiten einer Funktion, die ein Produkt enthält. Die Regel besagt, dass \(f'(u * v) = u' * v + u * v'\). Hierbei sind \(u\) und \(v\) Funktionen.
Ein Beispiel:
$$f(x) = x * cos(x)$$
Nach der Produktregel können wir schreiben:
$$\begin{aligned} f'(x) &= (x)' * cos(x) + x * (cos(x))' \\ \Rightarrow f'(x) &= 1 * cos(x) + x * (-sin(x))\\ \Rightarrow f'(x) &= cos(x) - x * sin(x)\end{aligned}$$

Quotientenregel

Die Quotientenregel erlaubt das Ableiten einer Funktion, die einen Quotienten (Bruch) enthält. Die Regel besagt, dass \(f'({u \over v}) = {(u' * v - u * v') \over (v ^ 2)}\). Hierbei sind \(u\) und \(v\) Funktionen.
Ein Beispiel:
$$f(x) = {x^3 \over e^x}$$
Nach der Quotientenregel können wir schreiben:
$$\begin{aligned} f'(x) &= {(x^3)' * e^x - x^3 * (e^x)' \over (e^x)^2} \\ \Rightarrow f'(x) &= {3 * x^2 * e^x - x^3 * e^x \over e^x * e^x}\\ \Rightarrow f'(x) &= {e^x * (3 * x^2 - x^3) \over e^x * e^x}\\ \Rightarrow f'(x) &= {3 * x^2 - x^3 \over e^x}\end{aligned}$$

Kettenregel

Wenn u und v zwei differenzierbare Funktionen sind, das heißt man kann sie ableiten, dann ist die Funktion differenzierbar mit \(f(x) = u(v(x))) \Rightarrow f'(x) = u'(v(x)) * v'(x)\)
Ein Beispiel:
$$f(x) = sin (x^3)$$
Nach der Kettenregel ist
$$\begin{aligned} u(x) &= sin(x) \\ v(x) &= x^3 \end{aligned}$$
Dann können wir schreiben:
$$\begin{aligned} f'(x) &= sin'(x^3) * (x^3)' \\ \Rightarrow f'(x) &= cos(x^3) * 3 * x^2\end{aligned}$$

09.02.2014